1. A나라 사람들은 모두 아들을 극단적으로 선호해서 아들을 가질 때까지 계속해서 아이를 낳습니다. 아들을 가지면 아이 낳기를 중단하고, 딸을 낳으면 아들을 가질 때까지 계속 아이를 낳습니다. 이 나라에서 아들과 딸의 비율은 어떻게 될까요?
답 : 첫째 아이가 남자일 확률은 1/2이다.
둘째 아이를 낳는 경우는 일단 첫째가 딸인 경우에 한정되고, 다시 남자일 확률은 따라서 1/4이다.
셋째 아이를 낳으려면 첫째 둘째가 모두 딸이어야 하고, 다시 남자일 확률은 따라서 1/8이다.
이렇게 n번째 아이가 남자일 확률은 1/2^n 이므로 전체적인 남자 여자의 비율은 단순한 등비급수의 문제가 되므로 1/2이다.
다만 위 논의는 다음과 같은 암묵적 가정이 내포되어 있어 한계가 있다.
(1) 한없이 아이를 낳을 수 있다. -> 실제로는 5~15 정도가 평균적인 여성 1인에게 한계에 가까운 수치이다.
(2) 출산편향이 존재하지 않는다. 즉 아들과 딸은 1:1로 태어난다. -> 실제로는 105:100 이다.
(3) 출산하는 부부들 사이에서의 편향이 존재하지 않는다. -> 실제로는 딸이나 아들을 많이 낳는 혈통이 있는 것으로 보인다. 이 경우 아들을 많이 낳는 혈통의 자손이 결혼시장에서 더 우대될 것이다.
(4) 결혼시장에서의 완전고용이 나타난다. -> 불완전고용이 나타나는 경우 딸을 많이 낳는 혈통은 도태될 가능성이 있다.
이같은 현실적인 문제들을 고려하면 실제로는 1/2보다는 아들의 비율이 더 많을 것으로 보인다.
2. 맨홀 뚜껑은 왜 둥글까요?
답 : 맨홀 뚜껑의 역할은 하수도에의 연결통로에 불구하고 도로 기능이 정상적으로 사용되는 것이다. 연결통로로 사용되거나 하수도가 넘칠 경우 이에 적합한 용도로 꾸며질 필요가 있다. 잘 알려져 있다시피 뚜껑이 각진 형태일 경우 대각선 길이가 길어서 뚜껑이 하수도로 빠질 우려가 있다. 또한 각진 형태일 경우 윗면이 도로로 사용될 때 특정 지점들에 힘이 집중되어 휘거나 부서질 우려가 상대적으로 크다.
3. 시계의 시침과 분침은 하루에 몇 번이나 만날까요?
답 : 22번. 매 시간마다 1회씩 마주치고, 11시와 12시에 마주치는 경우가 겹친다.
4. 당신은 해적선 선장입니다. 황금을 어떻게 배분할지에 대한 당신의 안을 놓고 100명의 선원이 투표를 합니다. 과반의 지지를 못 얻으면 당신은 죽어요. 죽지 않으면서 최대한 많은 황금을 차지할 수 있는 안은 무엇인가요?
답 : 문제에 흠결이 많아서 가정이 몇가지 필요하다. 첫째로 황금은 어쨌든 최종적으로 배분될 필요가 있다. 둘째로 선장이 죽으면 부선장, 부선장도 과반 지지 못 얻으면 죽고 갑판장, 하는 식으로 서열 백위까지가 순차적으로 배분한다고 한다. 셋째로 가부동수는 부결이다. 넷째로 논의의 편의를 위해 황금이 예컨대 1천단위가 있다고 본다. 다섯째로 해적선원들은 합리적이다.
부분게임완전내쉬균형 개념을 이용하여 부분게임에서의 내쉬균형을 먼저 분석한다. 모든 선원들이 다 죽고 99, 100번째 선원만 남은 경우를 가정하자. 이 경우 100번째 선원은 99번째 선원이 무슨 제안을 하든 받아들이지 않음으로서 99번째 선원을 죽이고 자신이 1천단위 황금을 모두 가질 수 있다. 98번째 선원까지 셋이 살아있던 경우 이 사실을 예측하므로 98번째 선원은 99번째 선원에게 황금 1을 주고, 100번째 선원에게 0을 주는 제안을 함으로서 과반수를 득표할 수 있다. 97번째 선원도 살아있던 (총 네명 남았던 경우) 경우 그도 이런 결과를 예측할 수 있으므로 98번째에게 0을 주고 99번째에게 2, 100번째에게 1을 주는 결정으로 과반수를 득표할 수 있다. 이것도 예측가능하므로 96번째가 왕고였던 상황에서 96번째는 이번엔 98번째에게 1, 99번째에게 0, 100번째에게 2를 줌으로써 3표를 얻어 과반수를 획득할 수 있다. (굳이 99번째에게 동의 얻기 위해서는 3단위를 줘야하는데 3표만 있으면 되므로 그럴 필요가 없다) 95번째 선원 역시 이 사실을 알고 있으므로 97번째에게 1 98번째에게 2 99번째에게 1 100번째에게 0을 주어 4표를 얻을 수 있다. 다시 94번째 선원이 살아있던 경우에는 이번엔 96번째에게 1, 97번째에게 2, 100번째에게 1을 주어 4표를 얻을 수 있다.
지금까지 정리하면 다음과 같다. 혼자 남은 경우 1천단위 모두 갖고, 98번째가 왕고였을 때 자신은 999단위를 갖는다. 97번째가 왕고인 경우 997단위를 갖는다. 96번째가 왕고인 경우 자신은 997단위를 갖는다. 95번째가 왕고인 경우 996단위를 갖는다. 94번째가 왕고면 자신이 996단위를 얻는다. 즉, 얻고자 하는 표수만큼의 단위를 부하들에게 나눠주고 나머지를 모두 자신이 얻을 수 있다. 즉 선장의 경우 요구되는 표수가 51표이므로 51단위를 제외한 모든 황금을 자신이 획득할 수 있을 것이다.
5. 같은 크기의 공이 8개 있는데, 그 중 7개는 무게가 같고 한 개는 더 무거워요. 저울을 두 번만 사용해서 무거운 공을 찾아내세요.
답 :
(1) 양팔저울을 가정한다. 공 6개를 임의로 골라 3개씩 양팔에 올려놓는다. 기울지 않는 경우 남은 두개를 저울로 재어서 무거운 공을 찾는다. 한쪽으로 기우는 경우 다시 임의로 공 2개를 그중 골라 비교하여 확인한다.
(2) 무게를 재는 저울을 가정한다. 들어서 출제자를 때린다.
6. 특수 제조한 계란이 2개 있는데, 100층 높이 빌딩의 몇 층에서 떨어뜨려야 깨지는지 알아내려 합니다. 단 2개의 계란만 사용해서 몇 층에서 깨지는지 확실하게 알아내려면 계란을 최소 몇 번 떨어뜨려 봐야 할까요?
답 : 계란을 최초에 3층에서 떨어뜨렸는데 깨졌다고 하자. 이 경우 남은 달걀 하나로는 2층이 최초층인지 1층인지, 3층인지를 알아낼 수 없다. (경우의 수가 세가지인데 대응할 대안은 한가지이므로) 따라서 2층에서 최초에 떨어뜨려볼 필요가 있다. 이 솔루션으로는 총 50회를 떨어뜨려야 한다는 계산이 나온다. 이보다 적은 대안이 있을 것 같은데 모르겠다.
답 : 첫째 아이가 남자일 확률은 1/2이다.
둘째 아이를 낳는 경우는 일단 첫째가 딸인 경우에 한정되고, 다시 남자일 확률은 따라서 1/4이다.
셋째 아이를 낳으려면 첫째 둘째가 모두 딸이어야 하고, 다시 남자일 확률은 따라서 1/8이다.
이렇게 n번째 아이가 남자일 확률은 1/2^n 이므로 전체적인 남자 여자의 비율은 단순한 등비급수의 문제가 되므로 1/2이다.
다만 위 논의는 다음과 같은 암묵적 가정이 내포되어 있어 한계가 있다.
(1) 한없이 아이를 낳을 수 있다. -> 실제로는 5~15 정도가 평균적인 여성 1인에게 한계에 가까운 수치이다.
(2) 출산편향이 존재하지 않는다. 즉 아들과 딸은 1:1로 태어난다. -> 실제로는 105:100 이다.
(3) 출산하는 부부들 사이에서의 편향이 존재하지 않는다. -> 실제로는 딸이나 아들을 많이 낳는 혈통이 있는 것으로 보인다. 이 경우 아들을 많이 낳는 혈통의 자손이 결혼시장에서 더 우대될 것이다.
(4) 결혼시장에서의 완전고용이 나타난다. -> 불완전고용이 나타나는 경우 딸을 많이 낳는 혈통은 도태될 가능성이 있다.
이같은 현실적인 문제들을 고려하면 실제로는 1/2보다는 아들의 비율이 더 많을 것으로 보인다.
2. 맨홀 뚜껑은 왜 둥글까요?
답 : 맨홀 뚜껑의 역할은 하수도에의 연결통로에 불구하고 도로 기능이 정상적으로 사용되는 것이다. 연결통로로 사용되거나 하수도가 넘칠 경우 이에 적합한 용도로 꾸며질 필요가 있다. 잘 알려져 있다시피 뚜껑이 각진 형태일 경우 대각선 길이가 길어서 뚜껑이 하수도로 빠질 우려가 있다. 또한 각진 형태일 경우 윗면이 도로로 사용될 때 특정 지점들에 힘이 집중되어 휘거나 부서질 우려가 상대적으로 크다.
3. 시계의 시침과 분침은 하루에 몇 번이나 만날까요?
답 : 22번. 매 시간마다 1회씩 마주치고, 11시와 12시에 마주치는 경우가 겹친다.
4. 당신은 해적선 선장입니다. 황금을 어떻게 배분할지에 대한 당신의 안을 놓고 100명의 선원이 투표를 합니다. 과반의 지지를 못 얻으면 당신은 죽어요. 죽지 않으면서 최대한 많은 황금을 차지할 수 있는 안은 무엇인가요?
답 : 문제에 흠결이 많아서 가정이 몇가지 필요하다. 첫째로 황금은 어쨌든 최종적으로 배분될 필요가 있다. 둘째로 선장이 죽으면 부선장, 부선장도 과반 지지 못 얻으면 죽고 갑판장, 하는 식으로 서열 백위까지가 순차적으로 배분한다고 한다. 셋째로 가부동수는 부결이다. 넷째로 논의의 편의를 위해 황금이 예컨대 1천단위가 있다고 본다. 다섯째로 해적선원들은 합리적이다.
부분게임완전내쉬균형 개념을 이용하여 부분게임에서의 내쉬균형을 먼저 분석한다. 모든 선원들이 다 죽고 99, 100번째 선원만 남은 경우를 가정하자. 이 경우 100번째 선원은 99번째 선원이 무슨 제안을 하든 받아들이지 않음으로서 99번째 선원을 죽이고 자신이 1천단위 황금을 모두 가질 수 있다. 98번째 선원까지 셋이 살아있던 경우 이 사실을 예측하므로 98번째 선원은 99번째 선원에게 황금 1을 주고, 100번째 선원에게 0을 주는 제안을 함으로서 과반수를 득표할 수 있다. 97번째 선원도 살아있던 (총 네명 남았던 경우) 경우 그도 이런 결과를 예측할 수 있으므로 98번째에게 0을 주고 99번째에게 2, 100번째에게 1을 주는 결정으로 과반수를 득표할 수 있다. 이것도 예측가능하므로 96번째가 왕고였던 상황에서 96번째는 이번엔 98번째에게 1, 99번째에게 0, 100번째에게 2를 줌으로써 3표를 얻어 과반수를 획득할 수 있다. (굳이 99번째에게 동의 얻기 위해서는 3단위를 줘야하는데 3표만 있으면 되므로 그럴 필요가 없다) 95번째 선원 역시 이 사실을 알고 있으므로 97번째에게 1 98번째에게 2 99번째에게 1 100번째에게 0을 주어 4표를 얻을 수 있다. 다시 94번째 선원이 살아있던 경우에는 이번엔 96번째에게 1, 97번째에게 2, 100번째에게 1을 주어 4표를 얻을 수 있다.
지금까지 정리하면 다음과 같다. 혼자 남은 경우 1천단위 모두 갖고, 98번째가 왕고였을 때 자신은 999단위를 갖는다. 97번째가 왕고인 경우 997단위를 갖는다. 96번째가 왕고인 경우 자신은 997단위를 갖는다. 95번째가 왕고인 경우 996단위를 갖는다. 94번째가 왕고면 자신이 996단위를 얻는다. 즉, 얻고자 하는 표수만큼의 단위를 부하들에게 나눠주고 나머지를 모두 자신이 얻을 수 있다. 즉 선장의 경우 요구되는 표수가 51표이므로 51단위를 제외한 모든 황금을 자신이 획득할 수 있을 것이다.
5. 같은 크기의 공이 8개 있는데, 그 중 7개는 무게가 같고 한 개는 더 무거워요. 저울을 두 번만 사용해서 무거운 공을 찾아내세요.
답 :
(1) 양팔저울을 가정한다. 공 6개를 임의로 골라 3개씩 양팔에 올려놓는다. 기울지 않는 경우 남은 두개를 저울로 재어서 무거운 공을 찾는다. 한쪽으로 기우는 경우 다시 임의로 공 2개를 그중 골라 비교하여 확인한다.
(2) 무게를 재는 저울을 가정한다. 들어서 출제자를 때린다.
6. 특수 제조한 계란이 2개 있는데, 100층 높이 빌딩의 몇 층에서 떨어뜨려야 깨지는지 알아내려 합니다. 단 2개의 계란만 사용해서 몇 층에서 깨지는지 확실하게 알아내려면 계란을 최소 몇 번 떨어뜨려 봐야 할까요?
답 : 계란을 최초에 3층에서 떨어뜨렸는데 깨졌다고 하자. 이 경우 남은 달걀 하나로는 2층이 최초층인지 1층인지, 3층인지를 알아낼 수 없다. (경우의 수가 세가지인데 대응할 대안은 한가지이므로) 따라서 2층에서 최초에 떨어뜨려볼 필요가 있다. 이 솔루션으로는 총 50회를 떨어뜨려야 한다는 계산이 나온다. 이보다 적은 대안이 있을 것 같은데 모르겠다.
